Description

La théorie des valeurs extrêmes univariés assure que le maximum de variables aléatoires indépendantes et de même loi converge vers une loi GEV. L'hypothèse d'indépendance s'avère être un verrou dans de nombreuses applications, pour lesquelles les données sont corrélées dans le temps ou dans l’espace : hauteurs de vagues, températures successives, niveaux de pollution, rendements financiers journaliers, etc.

Dès les années 1970–80, des travaux fondateurs ont permis d’étendre certains résultats de convergence en introduisant des notions de dépendance asymptotique, suffisamment faibles pour garantir une forme de « quasi-indépendance » entre les événements extrêmes (voir Leadbetter (1974) et Leadbetter (1983)). Plus récemment, une approche plus flexible a émergé : celle des copules. Les copules permettent de modéliser séparément la dépendance entre variables et leur comportement marginal, en s’appuyant notamment sur le théorème de Sklar (1959). Cette méthode a profondément renouvelé la modélisation des extrêmes dépendants, en particulier dans un cadre multivarié. On renvoie à Nelsen (2006), Joe (2015), ou Durante et Sempi (2015).

La publication récente Herrmann, Hofert et Nešlehová (2024) présente un point de vue différent : elle établit les conditions de convergence du maximum dans un cadre général dépendant, basé sur les copules. Ce cadre théorique permet de généraliser le théorème de Fisher–Tippett–Gnedenko à des séquences de variables aléatoires dépendantes, en intégrant directement la structure de dépendance via une fonction limite.

Le projet de thèse vise à développer des techniques d'inférence fréquentiste et bayésienne pour estimer la loi limite du maximum sous des hypothèses de dépendance. Les méthodes bayésiennes sont particulièrement adaptées aux situations où l’information est rare ou incertaine - ce qui est typiquement le cas dans l’analyse des extrêmes, voir Beirlant et al. (2004, Chapitre 11) ou Bousquet & Bernardara (2021, Chapitre 11). En introduisant des distributions a priori souples sur les paramètres, on peut obtenir :
- des intervalles de crédibilité (plutôt que de simples intervalles de confiance),
- une prévision de densité pour les observations extrêmes,
- une meilleure prise en compte de la structure de dépendance, notamment dans des modèles échangeables, comme ceux évoqués dans Herrmann, Hofert \& Neslehova (2024).

La thèse visera ainsi à développer et à étudier des estimateurs ainsi qu'à évaluer leur performance sur des données simulées et réelles, par exemple météorologiques ou financières.

Compétences requises

Titulaire d'un M2 ou d'un diplôme d'ingénieur en statistique. Solides connaissances en mathématiques, notamment en statistiques et en théorie des probabilités, maîtrise de la programmation R et/ou Python.

Bibliographie

Beirlant, J. et al. (2004). Statistics of Extremes : Theory and Applications. John Wiley & Sons, Ltd.

Bousquet, N. and Pietro B. (2021). Extreme value theory withapplications to natural hazards. Springer.

Durante, F. and Sempi C. (2015). Principles of Copula Theory. Chapmanet Hall.

Embrechts, P., Klüppelberg, C. and Mikosch, T. (1997). Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer.

Genest, C. et Neslehov\'a J. (2007). A Primer on Copulas for Count Data. In : ASTIN Bulletin 37.2, p. 475-515. doi : 10.2143/AST.37.2.2024077.

Haan, L. de and Ferreira a. (2006). Extreme Value Theory. An introduction. Springer.

Herrmann, K., Hofert, M. and Neslehova, J. (2024). Limiting Behavior of Maxima under Dependence. arXiv : 2405.02833

Hitz, A. S., Davis, R. A. and Samorodnitsky, G. (2024). Discrete Extremes, Journal of Data Science, 22.4, p. 524-536. issn : 1680-743X. doi : 10.6339/24-JDS1120.

Joe, H. (2015). Dependence Modeling with Copulas. CRC Press.

Leadbetter, M. R. (1974). On extreme values in stationary sequences, Probability theory and related fields 28.4, p. 289-303.

Leadbetter, M. R. (1983). Extremes and local dependence in stationary sequences, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 65.2, p. 291-306.

Nelsen, R. (2006). An Introduction to Copulas. Springer.

Resnick, S. I. (1987). Extreme Values, Regular Variation and Point Processes. Springer-Verlag New York.

Sklar, A. (1959). Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges, Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 8, p. 229-231.

Valiquette, Samuel (2024). Sur les données de comptage dans le cadre des valeurs extrêmes et la modélisation multivariée, thèse de doctorat, Université de Sherbrooke

Valiquette, Samuel et al. (2023). Asymptotic tail properties of Poisson mixture distributions, Stat, 12.1, e622

Mots clés

Théorie des valeurs extrêmes, Copules, Dépendance, estimation fréquentiste et bayésienne