Description

La thèse vise l’étude mathématique de modèles d'allocation de ressources très étudiés en biologie cellulaire. L'objectif principal sera de comprendre l'alternance entre la croissance des micro-organismes et la division cellulaire. La division cellulaire implique des sauts des solutions du système dynamique (lorsqu'une cellule se divise), et les problèmes mathématiques qui ont étudiés précédemment doivent donc incorporer des contrôles impulsionnels. Ce couplage constitue précisément la nouveauté de ce projet. On notera que dans ces problèmes, l'état du système est discontinu par rapport au temps et que les sauts de l’état seront contraints géométriquement (typiquement, lorsqu’une concentration de référence atteint un seuil spécifié). Une première étape sera de formaliser mathématiquement de tels problèmes de modélisation biologiques conduisant à des problèmes de contrôle optimal impulsionnels. Dans cette optique, on pourra s’appuyer sur certains travaux récents sur le sujet (effectués notamment par les encadrants). L'objectif sera ensuite de déterminer à la fois les lois de contrôle optimales pour les modèles d'allocation des ressources et les temps de commutation optimaux correspondant à la division. Si les conditions d'optimalité théoriques pour les problèmes de contrôle optimal impulsionnel sont relativement bien connus dans la littérature, les méthodes numériques sont plus difficiles à mettre en œuvre en raison des discontinuités de l'état. Le projet mettra donc en place un cadre impulsionnel adéquat pour analyser ces solutions optimales, notamment à travers des conditions de type Pontryagin. Ce cadre servira de base au développement de nouvelles techniques d'approximation pour approcher les solutions des problèmes de contrôle optimal impulsionnel considérés (en s'inspirant, par exemple, de techniques de complétion de graphes, outil couramment utilisé en contrôle optimal impulsionnel). L'organisation de la thèse s'articulera donc autour de la modélisation biologique et de l’analyse mathématique de tels problèmes par le contrôle optimal impulsionnel (conduisant à des techniques de résolution numérique).

Compétences requises

Master en Mathématiques appliquées avec une spécialisation dans les domaines suivants : - Systèmes dynamiques et contrôle optimal - Optimisation - Programmation Les candidats doivent impérativement avoir un intérêt pour la modélisation biologique (en plus des mathématiques appliqués).

Bibliographie

[1] M.S. Aronna, M. S., M. Motta, M., F. Rampazzo, A higher-order maximum principle for impulsive optimal controlproblems, SIAM J. Control Optim., vol. 58, 2, pp. 814–844, 2020.

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[7] M. Scott, T. Hwa, Shaping bacterial gene expression by physiological and proteome allocation constraints, NatureReviews Microbiology, 21(5): 2023, pp. 327–342

Mots clés

Contrôle optimal, Systèmes biologiques, Systèmes hybrides, Allocation de ressource, Systèmes dynamiques, Ecosystèmes microbiens