Description

La résolution numérique des modèles dispersifs constitue un enjeu scientifique important pour la modélisation des ondes de surface et des écoulements en eaux peu profondes. De nombreux modèles dispersifs, dérivés comme approximations des équations complètes des vagues, peuvent être formulés comme des systèmes hyperboliques dont la solution appartient à un sous-espace linéaire d’un espace
𝐿
2
L
2
pondéré. Cette propriété repose sur une décomposition de type Helmholtz, analogue à celle utilisée en mécanique des fluides incompressibles, et définit une structure dite de projection. Plusieurs travaux ont montré que cette formulation permet de construire des schémas numériques robustes, efficaces et compatibles avec des propriétés physiques essentielles, notamment la satisfaction d’inégalités entropiques, le traitement stable des fronts secs ou encore le couplage cohérent de différents modèles dispersifs. Toutefois, malgré ces avancées, l’utilisation de ces modèles à grande échelle reste fortement limitée par leur coût de calcul, principalement lié à l’étape de projection implicite nécessaire à chaque pas de temps. L’objectif de cette thèse est de concevoir des stratégies numériques efficaces exploitant cette structure afin de réduire significativement ce coût tout en préservant la robustesse des méthodes existantes.

Le projet s’articule autour de trois axes complémentaires. Les deux premiers visent à accélérer la résolution numérique selon des approches distinctes qui seront d’abord étudiées sur le modèle KdV/BBM, représentant le cadre le plus simple possédant cette structure mathématique. Le premier axe concerne le développement de schémas prédiction–correction d’ordre élevé en temps. Ces méthodes reposent sur une étape explicite de prédiction incluant une approximation du terme dispersif, suivie d’une projection implicite réalisée uniquement en fin de pas de temps, étape la plus coûteuse du calcul. Le principal défi consiste à construire des discrétisations spatiales d’ordre élevé compatibles avec le sous-espace admissible et le produit scalaire associé à la projection. Deux approches seront étudiées : les méthodes volumes finis WENO, permettant d’atteindre une grande précision avec peu de degrés de liberté, et les méthodes de Galerkin discontinu, qui introduisent davantage de points par cellule mais permettent une résolution largement locale, favorable à la parallélisation. Une stratégie alternative basée sur des schémas pseudo-compressibles sera également explorée, où la projection est approchée par la relaxation d’un système hyperbolique auxiliaire, combinée à une détection locale des zones nécessitant réellement le calcul.

Le second axe vise à développer une stratégie adaptative reposant sur un estimateur a priori permettant de n’effectuer la projection que lorsque cela est nécessaire. L’écart entre la solution prédite et la contrainte de projection sera estimé localement ; lorsque cet écart reste inférieur à une tolérance fixée, la projection pourra être omise. Afin de tenir compte du caractère non local de cette opération, une stratégie de couplage à interface épaisse sera introduite pour étendre dynamiquement la zone de projection et garantir la robustesse du schéma.

Enfin, les méthodes les plus performantes seront appliquées à des modèles d’ondes plus réalistes de type Boussinesq, notamment les modèles de Green–Naghdi et de Peregrine, ainsi qu’à des formulations intégrant une structure verticale de la vitesse horizontale. Dans ces modèles, la structure de projection dépend d’une variable évolutive représentant la hauteur d’eau, ce qui nécessite une discrétisation soigneuse afin de préserver la précision d’ordre élevé. L’objectif final est ainsi de lever un verrou computationnel majeur et de rendre les modèles dispersifs compatibles avec des simulations hydrodynamiques à grande échelle.

Compétences requises

Titulaire (ou en cours d’obtention) d’un Master 2 en mathématiques appliquées, mathématiques et applications, ou discipline équivalente, le/la candidat·e devra disposer de solides bases en analyse numérique des équations aux dérivées partielles et en méthodes de calcul scientifique. Une bonne maîtrise de la programmation scientifique (Python, C/C++, ou langage équivalent) est attendue, ainsi qu’un intérêt marqué pour la modélisation mathématique et la simulation numérique. Des connaissances en mécanique des fluides, en équations hyperboliques ou en méthodes numériques avancées (volumes finis, éléments discontinus, méthodes spectrales, etc.) seront particulièrement appréciées. Le/la candidat·e devra faire preuve d’autonomie, de rigueur scientifique et d’une capacité à travailler en interaction avec des chercheurs issus de différentes communautés (mathématiques appliquées, géophysique, hydrodynamique). Un bon niveau d’anglais scientifique, à l’écrit comme à l’oral, est requis.

Bibliographie

[1] T. B. Benjamin, J. L. Bona, and J. J. Mahony. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 272(1220):47-78, 2024/01/23 1997.
[2] C. Escalante, E. D. Fernández-Nieto, J. Garres-Díaz, T. Morales de Luna, and Y. Penel. Non-hydrostatic layer-averaged approximation of euler system with enhanced dispersion properties. Computational and Applied Mathematics, 42(4):177, May 2023.
[3] E. D. Fernández-Nieto, M. Parisot, Y. Penel, and J. Sainte-Marie. A hierarchy of dispersive layer-averaged approximations of Euler equations for free surface flows. Communications in Mathematical Sciences, 16(5):1169–1202, 2018.
[4] J. Guermond, P. Minev, and J. Shen. An overview of projection methods for incompressible flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195(44):6011 – 6045, 2006.
[5] D. Lannes. Modeling shallow water waves. Nonlinearity, 33(5):R1–R57, mar 2020.
[6] H. Nishikawa. A first-order system approach for diffusion equation. i: Second-order residual-distribution schemes.
Journal of Computational Physics, 227(1):315–352, 2007.
[7] S. Noelle, M. Parisot, and T. Tscherpel. A class of boundary conditions for time-discrete Green-Naghdi equations with bathymetry. SIAM Journal on Numerical Analysis, 2022.
[8] M. Parisot. Entropy-satisfying scheme for a hierarchy of dispersive reduced models of free surface flow. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 91(10):509–531, 2019.
[9] M. Parisot. Some modeling and computational aspects of water waves action. Habilitation à diriger des recherches, Université de Bordeaux, Nov. 2024.
[10] M. Parisot. Thick interface coupling technique for weakly dispersive models of waves. ESAIM: M2AN, 58(4):1497–1522, 2024.

Mots clés

Équations dispersives, Équations paraboliques non-locales, Équations hyperboliques, Méthode de projection, Méthode de Galerkin Discontinue